Question

已知函数，.

（1）若函数的图像与轴无交点，求的取值范围；

（2）若方程在区间上存在实根，求的取值范围；

（3）设函数，，当时若对任意的，总存在，使得，求的取值范围．

Answer

（1）；（2）；（3）或.

【解析】

（1）函数与轴无交点，即方程没有实数根，即可求得的取值范围；（2）函数的对称轴是，所以函数在上单调递减，则需满足；（3）根据题意可知，函数在上的函数值的取值集合是函数在上的函数值的取值集合的子集，对于函数，可分讨论函数的值域，利用子集关系列不等式求的范围.

（1）若函数的图象与轴无关点，则方程的根的判别式，即，解得.

故的取值范围为.

（2）因为函数的图象的对称轴是直线，

所以在上是减函数.

又在上存在零点，所以，即，解得.

故的取值范围为.

（3）若对任意的，总存在，使得，则函数在上的函数值的取值集合是函数在上的函数值的取值集合的子集.

当时，函数图象的对称轴是直线，所以在上的函数值的取值集合为.

①当时，，不符合题意，舍去.

②当时，在上的值域为，只需，解得.

③当时，在上的值域为，只需，解得.

综上，的取值范围为或.