Question

已知定义域为的函数是奇函数．

（1）求的值；

（2）判断函数的单调性，并用定义证明；

（3）当时，恒成立，求实数的取值范围．

Answer

(1) (2) 减函数，证明见解析；(3) ．

【解析】

（1）利用奇函数的性质令，求解即可．

（2）利用函数的单调性的定义证明即可．

（3）利用函数是奇函数以及函数的单调性转化不等式为代数形式的不等式，求解即可．

（1）∵在定义域上是奇函数，

所以，即，∴，

经检验，当时，原函数是奇函数．

（2）在上是减函数，证明如下：

由（1）知，

任取，设，

则，

∵函数在上是增函数，且，

∴，又，

∴，即，

∴函数在上是减函数．

（3）因是奇函数，从而不等式等价于，

由（2）知在上是减函数，由上式推得，

即对任意，有恒成立，

由，

令，，则可设，，

∴，

∴，即的取值范围为．