Question

已知函数在区间上的最大值为2.

(1)求函数的解析式，并求它的对称中心的坐标；

(2)先将函数保持横坐标不变，纵坐标变为原来的（）倍，再将图象向左平移（）个单位，得到的函数为偶函数．若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）， ；（2）

【解析】

（1）化简，时， 取最大值，即有，得，再求出对称中心坐标；

（2）求出解析式，，只需的值域是值域的子集即可.

（1）.

∵，∴，

则当，即时， 取最大值，即有，得.

∴；

令，解得 ，

∴的对称中心的坐标为 .

（2），

∵为偶函数，∴ ，∴ ，

又∵，∴，∴，

∵，∴，∴的值域为；

∵，∴，∴，

①当时，的值域为,

②当时，的值域为，

而依据题意有的值域是值域的子集，

则或

∴或，所以实数的取值范围为