Question

已知函数，其中．

Ⅰ当时，恒成立，求a的取值范围；

Ⅱ设是定义在上的函数，在内任取个数，，，，，设，令，，如果存在一个常数，使得恒成立，则称函数在区间上的具有性质P.试判断函数在区间上是否具有性质P？若具有性质P，请求出M的最小值；若不具有性质P，请说明理由．注：

Answer

Ⅰ；Ⅱ具有，最小值为3

【解析】

Ⅰ当时，恒成立，可转化为恒成立，进而转化为函数最值问题解决；

Ⅱ先研究函数在区间上的单调性，然后对内的任意一个取数方法，根据性质P的定义分两种情况讨论即可：①存在某一个整数2，3，，，使得时，②当对于任意的1，2，3，，，时，，利用函数的单调性去绝对值，化简，求的最小值.

Ⅰ当时，恒成立，即时，恒成立，

因为，所以恒成立，即在区间上恒成立，

所以，即，

所以即a的取值范围是．

Ⅱ由已知，可知在上单调递增，在上单调递减，

对于内的任意一个取数方法，

当存在某一个整数2，3，，，使得时，

．

当对于任意的1，2，3，，，时，则存在一个实数k使得，

此时

，

当时，式，

当时，式，

当时，式．

综上，对于内的任意一个取数方法，均有．

所以存在常数，使恒成立，

所以函数在区间上具有性质P．

此时M的最小值为3．