Question

如图，在三棱柱中，平面，，，的中点为.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）在棱上存在点，使得平面，且.

【解析】

（Ⅰ）可证明平面，从而得到.

（Ⅱ）利用，，两两互相垂直建立如图所示空间直角坐标系，求出平面的法向量平面的法向量后可求二面角的余弦值．

（Ⅲ）设，则可用表示，利用与平面的法向量垂直可求，从而得到的值.

证明：（Ⅰ）因为平面，平面，所以.

因为，所以.

又因为，

所以平面.

因为平面，所以.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，两两互相垂直，

如图，建立空间直角坐标系．

因为，

所以，，，.

因为平面，

所以即为平面的一个法向量.

设平面的一个法向量为，

，，

则 即

令，则.

于是.

所以.

由题知二面角为锐角，所以其余弦值为.

（Ⅲ）假设棱上存在点，使得平面.

由，得.

因为，为的中点，所以.

所以.

若平面，则，解得.

又因为平面.

所以在棱上存在点，使得平面，且.