Question

已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.

（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）设为椭圆右顶点，过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于，两点（异于），直线，分别交直线于，两点. 求证：，两点的纵坐标之积为定值.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.

【解析】

（Ⅰ）求出后可得椭圆方程.

（Ⅱ）当直线的斜率不存在，计算可得两点的纵坐标之积为.当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，，则，联立直线方程和椭圆方程，消去后利用韦达定理化简后可得定值.

【解析】
（Ⅰ）因为以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切，

所以半径等于原点到直线的距离，，即.

由离心率，可知，且，得.

故椭圆的方程为.

（Ⅱ）由椭圆的方程可知.

若直线的斜率不存在，则直线方程为，

所以.

则直线的方程为，直线的方程为.

令，得，.

所以两点的纵坐标之积为.

若直线的斜率存在，设直线的方程为,

由得，

依题意恒成立.

设，

则.

设，

由题意三点共线可知，

所以点的纵坐标为.同理得点的纵坐标为.

所以

综上，两点的纵坐标之积为定值.