已知函数. （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数的单调性；（Ⅲ...

已知函数.

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）讨论函数的单调性；

（Ⅲ）对于任意，，都有，求实数的取值范围.

（Ⅰ）；（Ⅱ）分类讨论，详见解析；（Ⅲ）. 【解析】（Ⅰ）当时，求出可得切线的斜率，从而得到切线方程. （Ⅱ）求出后就讨论其符号后可得函数的单调区间. （Ⅲ）就、、、、分类讨论后可得的最大值和最小值，从而得到关于的不等式组，其解即为所求的取值范围. 【解析】（Ⅰ）当时，因为所以，. 又因为，所以曲线在点处的切线方程为. （Ⅱ）因为，所以. 令，解得或. 若，当即或时，故函数的单调递增区间为；当即时，故函数的单调递减区间为. 若，则，当且仅当时取等号，故函数在上是增函数. 若，当即或时，故函数的单调递增区间为；当即时，故函数的单调递减区间为. 综上，时，函数单调递增区间为，单调递减区间为；时，函数单调递增区间为；时，函数单调递增区间为，单调递减区间为. （Ⅲ）由题设，只要即可. 令，解得或. 当时，随变化，变化情况如下表：减极小值增由表可知，此时，不符合题意. 当时，随变化，变化情况如下表：增极大值减极小值增由表可得，且，，因，所以只需，即，解得. 当时，由（Ⅱ）知在为增函数，此时，符合题意. 当时，同理只需，即，解得. 当时，，，不符合题意. 综上，实数的取值范围是.

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考点分析：

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