Question

已知，给定个整点,其中.

（Ⅰ）当时,从上面的个整点中任取两个不同的整点，求的所有可能值；

（Ⅱ）从上面个整点中任取个不同的整点，.

（i）证明：存在互不相同的四个整点，满足,；

（ii）证明：存在互不相同的四个整点，满足,.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）详见解析；（ii）详见解析.

【解析】

（Ⅰ）列出所有的整点后可得的所有可能值.

（Ⅱ）对于（i），可用反证法，对于（ii），可设直线上选择了个的点，计算可得诸直线上不同两点的横坐标和的不同个数的最小值为，结合中任意不同两项之和的不同的值恰有个可得至少有一个和出现两次，从而可证结论成立.

解:（Ⅰ）当时，4个整点分别为.

所以的所有可能值.

（Ⅱ）（i）假设不存在互不相同的四个整点，

满足.

即在直线中至多有一条直线上取多于1个整点，其余每条直线上至多取一个整点， 此时符合条件的整点个数最多为.

而，与已知矛盾.

故存在互不相同的四个整点，满足.

（ii）设直线上有个选定的点.

若，设上的这个选定的点的横坐标为，且满足.

由，

知中任意不同两项之和至少有个不同的值，这对于也成立.

由于中任意不同两项之和的不同的值恰有个，

而,

可知存在四个不同的点，

满足.