Question

若实数x，y满足x²－4xy＋4y²＋4x²y²＝4，则当x＋2y取得最大值时，的值为________．

Answer

2

【解析】

(解法1)因为实数x，y满足x2－4xy＋4y2＋4x2y2＝4，所以(x＋2y)2＋4x2y2－8xy＝4，即(x＋2y)2＋4(xy－1)2＝8，所以(x＋2y)2＝8－4(xy－1)2，所以当(xy－1)2＝0时，即xy＝1时，x＋2y取得最大值，此时x＝，y＝，所以＝2.(解法2)因为实数x，y满足x2－4xy＋4y2＋4x2y2＝4，所以(x－2y)2＋4x2y2＝4，令x－2y＝2cosθ，xy＝sinθ，则(x＋2y)2＝(x－2y)2＋8xy＝4cos2θ＋8sinθ，所以(x＋2y)2＝－4sin2θ＋8sinθ＋4，所以当sinθ＝1时，(x＋2y)2取得最大值，此时xy＝1，x－2y＝0，所以＝2.