Question

已知函数．

（1）求函数的定义域D，并判断的奇偶性；

（2）如果当时，的值域是，求a的值；

（3）对任意的m，，是否存在，使得，若存在，求出t，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）定义域为，奇函数；（2）；（3）存在，，详见解析

【解析】

（1）根据真数大于零可得到不等式求得定义域；由对数运算法则可证得，从而可知函数为奇函数；

（2）根据复合函数单调性可证得为定义域内的增函数，从而得到，构造出关于的方程，解方程求得的值；

（3）假设存在后，可根据对数运算法则得到；采用作差法验证出，从而可证得成立，并得到此时.

（1）由函数有意义可得：，解得： 的定义域为

是上的奇函数

（2）

为上的减函数，为上的减函数

在上单调递增 ，即

，解得：（舍）或

（3），

假设存在，使得，则：

解得：

，

又

对任意的，存在满足，此时