Question

设，，记.

（1）若，，当时，求的最大值；

（2）若，，且方程有两个不相等的实根、，求的取值范围；

（3）若，，，且a、b、c是三角形的三边长，试求满足等式：有解的最大的x的范围.

Answer

（1）12；（2）；（3）.

【解析】

（1）根据，，得到关于，的方程组，解出，，利用配方法，结合的取值范围，得到最大值；（2）根据方程有两个不相等的实根、，求出的表达值，结合不等式的性质求出的范围；（3）问题等价于存在使得成立，令，根据函数的单调性求出的范围，得到答案.

（1）因为，，

所以，解得，.

所以

因为，所以

所以当，即时，取得最大值为.

（2），，，

因为，所以，

令，，

而，则

因为，所以

所以，，且，

所以

所以的范围为.

（3）当时，有解

等价于，存在使得成立，

令

因为，，且，

显然，，

所以，，

所以为减函数，

因为，，是三角形的三边，所以，即

所以，

又是减函数，

所以存在使得，

所以的范围是