Question

在平面直角坐标系中，曲线为（为参数）.在以为原点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为，射线与除极点外的一个交点为，设直线经过点，且倾斜角为，直线与曲线的两个交点为.

（1）求的普通方程和的直角坐标方程；

（2）求的值．

Answer

（1）的普通方程是，的直角坐标方程是（2）

【解析】

（1）利用同角三角函数的基本关系式消去参数，求得的参数方程，利用极坐标方程转化为直角坐标方程的公式，将的的极坐标方程，转化为直角坐标方程.

（2）联立的方程和射线的方程，求得点坐标，进而求得直线的参数方程，代入椭圆方程，写出韦达定理，根据直线参数的几何意义，求得的值.

（1）的普通方程是.

由得，所以的直角坐标方程是

（2）射线即联立与得或，不是极点，.

依题意，直线的参数方程可以表示为 （为参数），

代入得,设点的参数是，则

，