Question

设函数．

（Ⅰ）当时，恒成立，求范围；

（Ⅱ）方程有唯一实数解，求正数的值．

Answer

(1) (2)

【解析】

试题1）求出函数的导数，求出函数的单调区间，求出函数的最大值，从而求出k的范围即可；（2）lnx+x=0时，不合题意，当lnx+x≠0时，m= 有唯一解，此时x＞x0，记h（x）=，根据函数的单调性求出m的值即可．

解析：

（1）a=2时，f（x）=lnx﹣x2+x，

f（x）的定义域是（0，+∞），

f′（x）=﹣2x+1，

令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，

故f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，

故f（x）max=f（1）=0，

若f（x）≤k恒成立，

则k≥0；

（2）方程mf（x）=（1﹣）x2有唯一实数解，

即m（lnx+x）=x2有唯一实数解，

当lnx+x=0时，显然不成立，设lnx+x=0的根为x0∈（，1）

当lnx+x≠0时，m=有唯一解，此时x＞x0

记h（x）=，

h′（x）=,

当x∈（0，1）时，x（x﹣1）＜0，2xlnx＜0，h′（x）＜0，

当x∈（1，+∞）时，x（x﹣1）＞0，2xlnx＞0，h'（x）＞0，

∴h（x）在（x0，1）上递减，（1，+∞）上递增．

∴h（x）min=h（1）=1，

当x∈（x0，1）时，h（x）∈（1，+∞），

当x∈（1，+∞）时，h（x）∈（1，+∞），

要使m=有唯一解，应有m=h（1）=1，

∴m=1．