Question

已知函数f（x）＝log_a（x+a）（a＞0且a≠1）的图象过点（﹣1，0），g（x）＝f（x）+f（﹣x）．

（Ⅰ）求函数g（x）的定义域；

（Ⅱ）写出函数g（x）的单调区间，并求g（x）的最大值．

Answer

（Ⅰ）（﹣2，2），（Ⅱ）单调增区间（﹣2，0），单调递减区间（0，2），最大值2

【解析】

（Ⅰ）根据函数过点（﹣1，0），计算得到a＝2，代入得到g（x）＝f（x）+f（﹣x）

，定义域满足得到答案.

（Ⅱ）利用复合函数的单调性到单调增区间（﹣2，0），单调递减区间（0，2），再计算最值得到答案.

（Ⅰ）f（x）＝loga（x+a）（a＞0且a≠1）的图象过点（﹣1，0），∴a﹣1＝1即a＝2，

∴g（x）＝f（x）+f（﹣x）＝log2（x+2）+log2（﹣x+2）

由题意可得，，即﹣2＜x＜2

∴函数g（x）的定义域（﹣2，2）

（Ⅱ）

根据复合函数的单调性可知g（x）的单调增区间（﹣2，0），单调递减区间（0，2）

当x＝0时，g（x）取得最大值2．