Question

正方体ABCD﹣A'B'C'D'棱长为2，并且E，F分别是棱AA'，CC'的中点．

（Ⅰ）求证：平面BED'F⊥平面BB'D'D；

（Ⅱ）求直线A'B'与平面BED'F所成的角的正弦值．

Answer

（Ⅰ）证明见解析 （Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ））分别以直线DA，DC，DD′为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，计算平面BED′F的法向量为，平面BB′D′D的法向量为，计算得到证明.

（Ⅱ）计算，再计算，得到答案.

（Ⅰ）分别以直线DA，DC，DD′为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则：

D（0，0，0），D′（0，0，2），E（2，0，1），B（2，2，0），

∴，，，

设平面BED′F的法向量为，则：∴

消去x得，y＝x，取x＝1，则得出平面BED′F的一个法向量为，

设平面BB′D′D的法向量为，则，∴

∴y＝﹣x，取x＝1，则得出平面BB′D′D的一个法向量为，

∵，∴，

∴平面BED'F⊥平面BB'D'D；

（Ⅱ）∵A′（2，0，2），B′（2，2，2），

∴，且由（Ⅰ）知平面BED'F的法向量，

∴，

∴直线A'B'与平面BED'F所成的角的正弦值为．