Question

已知函数；

（1）判断函数在区间上的单调性，并证明；

（2）若函数的最小值为与无关的常数，求实数的取值范围.

Answer

（1）函数在区间上单调递减，证明见解析（2）

【解析】

（1）当，，用定义法证明即可；

（2）分类讨论，要使函数的最小值为与无关的常数，则，即可求实数的取值范围.

【解析】
（1）当，，

函数在区间上单调递减；

证明如下：

设，

则，

即，

即函数在区间上单调递减；

（2）①当时，，函数单调递增，则函数在无最小值，

②当时，，

由时，，

则时，，由对勾函数图像的性质可得：要使函数的最小值为与无关的常数，则，解得：，

故实数的取值范围为：.