Question

已知函数；

（1）若函数在区间上的最小值为，求实数的取值范围；

（2）是否存在整数，，使得关于的不等式的解集恰好为，若存在，求出，的值，若不存在，请说明理由.

Answer

（1）（2）存在整数，，，或，，使得关于的不等式的解集恰好为

【解析】

（1）先求出二次函数的对称轴方程，再讨论对称轴与定区间的位置关系①当时，②当时，③时，求函数的最小值，然后运算即可得解；

（2）假设存在整数，，使得关于的不等式的解集恰好为，即的解集为，再结合二次方程的根的关系求解即可.

【解析】
（1）函数的对称轴为，

①当，即时，，不满足，

②当，即时，符合题意.

③，即时，.

综上：实数的取值范围：.

（2）假设存在整数，，使得关于的不等式的解集恰好为，即的解集为.可得，.

即的两个实数根为，.即可得出.，.

，当时，不存在，舍去，

当时，，或，.

故存在整数，，且，或，，使得关于的不等式的解集恰好为.