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已知函数. ⑴当时，证明:在上有唯一零点； (2)若对恒成立，求实数的取值范围....

已知函数.

⑴当时，证明:在上有唯一零点；

(2)若对恒成立，求实数的取值范围.

 

(1)证明见解析；(2) 【解析】 （1）通过导数可得单调性，利用零点存在性定理依次验证在各个单调区间内是否有零点，结合单调性可知每段单调区间内零点具有唯一性，从而可证得结论；（2）采用分离变量的方式将问题转化为对恒成立，令，利用导数得到在内的最小值，从而得到结果. （1）当时， 当和时，；当时， 在，上单调递增；在上单调递减 ， 在有一个零点 在上没有零点 在上没有零点 综上所述：在上有唯一零点 （2）当时，恒成立等价于对恒成立 令， 则 当时，；当时， 在上单调递减，在上单调递增 即的取值范围为：
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考点分析：
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随着西部大开发的深入，西南地区的大学越来越受到广大考生的青睐,下表是西南地区某大学近五年的录取平均分高于省一本线分值对比表：

年份

2015

2016

2017

2018

2019

年份代码

1

2

3

4

5

录取平均分高于省一本线分值

28

34

41

47

50

 

（1）根据上表数据可知，与之间存在线性相关关系，求关于的线性回归方程；

（2）假设2020年该省一本线为520分，利用（1）中求出的回归方程预测2020年该大学录取平均分.

参考公式：，

 

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已知函数，曲线在处的切线方程为.

（Ⅰ）求实数，的值；

（Ⅱ）求在区间上的最值.

 

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（2）估计手机使用者平均每天使用手机多少分钟? (同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)

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