Question

已知函数.

（1）判断的奇偶性和单调性（不要求证明）；

（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；

（3）若，其中，求证：.

Answer

（1）奇函数，增函数 （2） （3）证明见解析

【解析】

（1）利用函数的奇偶性定义以及指数函数的单调性即可判断.

（2）利用函数的单调性将不等式转化为，令，不等式进一步转化为

，解不等式由的范围即可求解.

（3）利用函数的单调性可得，再根据分析法结合二倍角公式以及万能公式即可证明.

（1）为上的奇函数和增函数.

（2）

.

令，则.

原式

，

∵，∴原式，∴.

（3）由，得，

∵，∴，∴，

∴

而，

∴成立，故原式得证.