Question

已知集合M是满足下列性质的函数的全体：在定义域内存在，使得成立.

（1）函数是否属于集合M？说明理由；

（2）设函数，求的取值范围；

（3）已知函数图象与函数的图象有交点，根据该结论证明：函数.

Answer

（1）见解析；（2）；（3）见解析.

【解析】

（1）集合M中元素的性质，即有f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立，代入函数解析式列出方程，进行求解，若无解则此函数不是M的元素，若有解则此函数是M的元素；
（2）根据f（x0+1）=f（x0）+f（1）和对数的运算，求出关于a的方程，再根据方程有解的条件求出a的取值范围，当二次项的系数含有参数时，考虑是否为零的情况；
（3）利用f（x0+1）=f（x0）+f（1）和f（x）=2x+x2∈M，整理出关于x0的式子，利用y=2x图象与函数y=-x的图象有交点，即对应方程有根，与求出的式子进行比较和证明．

（1）若f（x）=∈M，在定义域内存在x0，

则+1=0，

∵方程x02+x0+1=0无解，

∴f（x）=∉M；

（2）由题意得，f（x）=lg∈M，

∴lg+2ax+2（a﹣1）=0，

当a=2时，x=﹣；

当a≠2时，显然a>0,又由△≥0，得a2﹣6a+4≤0，a∈．

综上，所求的；

（3）∵函数f（x）=2x+x2∈M，

∴﹣3

=，

∵函数y=2x图象与函数y=﹣x的图象有交点，设交点的横坐标为a，

则，其中x0=a+1

∴f（x0+1）=f（x0）+f（1），即f（x）=2x+x2∈M．