Question

设函数f（x）=（ax²-2x）•e^x，其中a≥0．

（1）当a=时，求f（x）的极值点；

（2）若f（x）在[-1，1]上为单调函数，求a的取值范围．

Answer

（1）见解析（2）0≤a≤

【解析】

试题求出导数，得到单调性求出极值，在[-1，1]上为单调函数的充要条件是，即，所以0＜a≤．

试题解析：对f（x）求导得f'（x）=[ax2+2（a-1）x-2]•ex①

（Ⅰ）若a=时，由f′(x)=0，得2x2+x-3=0，解得x1=-，x2=1，综合①，可知

x

(-∞，-)

-

(-，1)

1

（1，+∞）

f'（x）

+

0

-

0

+

f（x）

↗

极大值

↘

极小值

↗

所以，x1=-是极大值点，x2=1是极小值点．（注：未注明极大、极小值扣1分）

（Ⅱ）若f（x）为[-1，1]上的单调函数，又f'（0）=-2＜0，

所以当x∈[-1，1]时f'（x）≤0，即g（x）=ax2+2（a-1）x-2≤0在[-1，1]上恒成立．

（1）当a=0时，g（x）=-2x-2≤0在[-1，1]上恒成立；

（2）当a＞0时，抛物线g（x）=ax2+2（a-1）x-2开口向上，

则f（x）在[-1，1]上为单调函数的充要条件是，即，所以0＜a≤．

综合（1）（2）知a的取值范围是0≤a≤．