Question

数列的前项和为，且，数列满足，.

（1）求数列的通项公式；

（2）求证：数列是等比数列；

（3）设数列满足，其前项和为，证明：.

Answer

（1）（2）见解析（3）见解析

【解析】

（1）利用求得数列的通项公式.

（2）通过证明，证得数列是等比数列，并求得首项和公比.

（3）由（2）求得的通项公式，由此求得的表达式，利用错位相减求和法求得，进而证得.

（1）当时，．

当时，．

检验，当时符合．

所以．

（2）当时，，

而，所以数列是等比数列，且首项为3，公比为3．

（3）由（2）得 ，

，

所以

①

②

由①②得

，

，

所以．

因为，所以．