Question

已知函数.

（1）若关于的不等式的解集为，求实数的值；

（2）设，若不等式对都成立，求实数的取值范围；

（3）若且时，求函数的零点.

Answer

（1），．（2）（3）见解析

【解析】

（1）根据根与系数关系列方程组，解方程组求得的值.

（2）将不等式转化为，求得左边函数的最小值，由此解一元二次不等式求得的取值范围.

（3）利用判别式进行分类讨论，结合函数的定义域，求得函数的零点.

（1）因为不等式的解集为，所以-3,1为方程的两个根，

由根与系数的关系得

，即，．

（2）当时，，

因为不等式对都成立，

所以不等式对任意实数都成立．

令，

所以．

当时，，

所以，即，得或，

所以实数的取值范围为．

（3）当时，，

函数的图像是开口向上且对称轴为的抛物线，

．

①当，即时，恒成立，函数无零点．

②当，即或时，

（ⅰ）当时，，此时函数无零点．

（ⅱ）当时，，此时函数有零点3．

③当，即或时，令，得

，

．

（ⅰ）当时，得，此时，

所以当时，函数无零点．

（ⅱ）当时，得，此时，所以当时，函数有两个零点：，．

综上所述：当，时，函数无零点；

当，时，函数有一个零点为3；

当，时，函数有两个零点：，．