Question

已知函数.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若函数有零点，求的取值范围.

Answer

（1）的单调递增区间为，单调递减区间为（2）

【解析】

（1）当时，利用导数求得的单调区间.

（2）求得的定义域为导函数，对分成三种情况，结合的单调性、零点存在性定理，分类讨论求得的取值范围.

（1）的定义域为.

当时，，

所以，

所以的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）的定义域为.

.

（i）若时，.

，，

在有零点.

（ii）若时，则当时，，

故在上单调递增，.

取，

，

所以在有零点.

（iii）若时，当时，.

当时，，

故在上单调递增，在上单调递减.

此时.

取，则，

只需满足即可，

.

令，

，即在单调递增，且.

所以要保证，只需满足.

故只需满足，即.

综上所述的取值范围是.