Question

对于数列，定义， ．

(1) 若，是否存在，使得？请说明理由；

(2) 若， ，求数列的通项公式；

(3) 令，求证：“为等差数列”的充要条件是“的前4项为等差数列，且为等差数列”．

Answer

（1）不存在（2）（3）见解析

【解析】试题(1)由题意知数列为递增数列，计算出数列的和与可得结果；(2)根据，可得，故可得，即数列， 均为公比为6的等比数列，可得其通项公式；(3)将题意转化为，先证必要性：设，其中为常数，可得，得结果，再证充分性：利用数学归纳法证得结果.

试题解析：（1）由，可知数列为递增数列， 计算得， ，所以不存在，使得；

（2）由，可以得到当时，

，

又因为，所以， 进而得到， 两式相除得，所以数列， 均为公比为6的等比数列，

由，得，所以；

（3）证明：由题意，

当时， ，

因此，对任意，都有．

必要性()：若为等差数列，不妨设，其中为常数，

显然，

由于=，

所以对于， 为常数，

故为等差数列；

充分性()：由于的前4项为等差数列，不妨设公差为

当时，有成立

假设时为等差数列，

即

当时，由为等差数列，得，

即： ，

所以

，

因此，

综上所述：数列为等差数列．