Question

已知圆C₁的圆心在坐标原点O，且恰好与直线相切．

(Ⅰ)求圆C₁的标准方程；

(Ⅱ)设点A为圆上一动点，AN垂直于x轴于点N，若动点Q满足

(其中m为非零常数)，试求动点Q的轨迹方程；

(Ⅲ)在(Ⅱ)的结论下，当m＝时，得到动点Q的轨迹为曲线C，与l₁垂直的直线l与曲线C交于B，D两点，求△OBD面积的最大值．

Answer

(Ⅰ) 圆C1的方程为x2＋y2＝4;(Ⅱ) 点Q的轨迹方程为;(Ⅲ).

【解析】

（Ⅰ）由题意首先求得圆的半径为r＝2，结合圆心坐标可得圆C1的方程为x2＋y2＝4.

（Ⅱ）设动点Q(x，y)，A(x0，y0)，由题意可得，则动点Q的轨迹方程为.

（Ⅲ）由题意结合(Ⅱ)的结论可知曲线C的方程为,联立直线方程与椭圆方程可得7x2－8bx＋4b2－12＝0.结合韦达定理和弦长公式可得面积函数为：，则△OBD面积的最大值为 .

（Ⅰ）设圆的半径为r，圆心到直线l1的距离为d，

则d＝＝2.

因为r＝d＝2，圆心为坐标原点O，

所以圆C1的方程为x2＋y2＝4.

（Ⅱ）设动点Q(x，y)，A(x0，y0)，

∵AN⊥x轴于点N，∴N(x0,0)，

由题意知，(x，y)＝m(x0，y0)＋(1－m)·(x0,0)，

解得即

将点A代入圆C1的方程x2＋y2＝4，

得动点Q的轨迹方程为＋＝1.

（Ⅲ）当m＝时，曲线C的方程为＋＝1，

设直线l的方程为y＝－x＋b，直线l与椭圆＋＝1交点B(x1，y1)，D(x2，y2)，

联立方程得7x2－8bx＋4b2－12＝0.

因为Δ＝48(7－b2)>0，

解得b2<7，且x1＋x2＝，x1x2＝.

又因为点O到直线l的距离d1＝，

|BD|＝·＝.

所以S△OBD＝··

＝≤，

当且仅当b2＝7－b2，

即b2＝<7时取到最大值．

所以△OBD面积的最大值为 .