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已知动点到定点的距离比它到轴的距离大. (1)求动点的轨迹的方程; (2)设点(...

已知动点到定点的距离比它到轴的距离大.

1)求动点的轨迹的方程;

2)设点(为常数),过点作斜率分别为的两条直线交曲线两点,交曲线两点,点分别是线段的中点,若,求证:直线过定点.

 

(1)(2)见解析 【解析】 (1)由题意可得,点到定点的距离等于它到的距离,从而点的轨迹是以为焦点,为准线的抛物线,从而求出答案; (2)先写出直线的点斜式方程,再联立抛物线方程消元,得韦达定理结论,利用中点坐标公式求出点,同理求出点,从而求出直线直线的斜率及直线方程,从而得出直线过定点. 【解析】 (1)∵点到定点的距离比它到轴的距离大1, ∴点到定点的距离等于它到的距离, ∴点的轨迹是以为焦点,为准线的抛物线, ∴动点的轨迹的方程为 (2)由题意,直线的方程为, 设,由,得, ∴, 又线段的中点为,所以,同理, ∴直线的斜率, ∴直线的方程为:, 即, ∴直线过定点.
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