Question

已知动点到定点的距离比它到轴的距离大.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）设点(为常数)，过点作斜率分别为的两条直线与，交曲线于两点，交曲线于两点，点分别是线段的中点，若，求证：直线过定点.

Answer

（1）（2）见解析

【解析】

（1）由题意可得，点到定点的距离等于它到的距离，从而点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，从而求出答案；

（2）先写出直线的点斜式方程，再联立抛物线方程消元，得韦达定理结论，利用中点坐标公式求出点，同理求出点，从而求出直线直线的斜率及直线方程，从而得出直线过定点．

【解析】
（1）∵点到定点的距离比它到轴的距离大1，

∴点到定点的距离等于它到的距离，

∴点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，

∴动点的轨迹的方程为

（2）由题意，直线的方程为，

设，由，得，

∴，

又线段的中点为，所以，同理，

∴直线的斜率，

∴直线的方程为：，

即，

∴直线过定点．