Question

如图，在三棱锥中，已知，，平面平面，点分别是的中点，，连接.

（1）若，并异面直线与所成角的余弦值的大小；

（2）若二面角的余弦值的大小为，求的长.

Answer

（1）（2）

【解析】

（1）连接OC，以点O为坐标原点建立空间直角坐标系，求出、，利用向量法求出异面直线所成角的余弦值；

（2）设，证得是平面PAB的一个法向量，再求出平面PBC的一个法向量，从而可求出，再用勾股定理求出．

【解析】
（1）连接OC，

∵平面PAB⊥平面ABC，PO⊥AB，∴PO⊥平面ABC，所以PO⊥OC，

∵AC=BC，点O是AB的中点，

∴OC⊥AB且，

如图，以点O为坐标原点建立空间直角坐标系，

．

，．

，，，

，．

从而， ．

∵，

∴异面直线PA与CD所成角的余弦值的大小为；

（2）设，则．∵ PO⊥OC，OC⊥AB，∴OC⊥平面PAB．

从而是平面PAB的一个法向量，

不妨设平面PBC的一个法向量为，

∵，， ∴

不妨令x=1，则y=1，，则．

由已知，得，化简，得．

∴．