Question

在直角坐标系中，已知椭圆的上顶点坐标为，离心率为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若椭圆上的点的横坐标为，且位于第一象限，点关于轴的对称点为点，是位于直线异侧的椭圆上的动点.

①若直线的斜率为，求四边形面积的最大值；

②若动点满足，试探求直线的斜率是否为定值？说明理由.

Answer

（1）（2）①②为定值，见解析

【解析】

（1）直接根据椭圆的几何性质求解；

（2）由（1）可得点坐标为，则，

①设直线方程，联立椭圆方程，设，得韦达定理，表示出四边形面积，从而求出四边形面积最大值为；

②由题意可得直线斜率与直线斜率互为相反数，设直线的方程，联立椭圆方程，设，得两根之和，求得，设，同理可得，根据斜率计算公式得直线的斜率为定值．

【解析】
（1）由题意，可得，

则椭圆的标准方程为；

（2）由（1）可得点坐标为，则，

①设直线方程为，联立椭圆方程，

化简可得，

设，则，

∴当时，四边形面积最大值为；

②由题意，因为，则直线斜率与直线斜率互为相反数，

设直线的方程为，联立椭圆方程，

化简可得，设，

则，又，所以，

设，同理可得，

所以，

所以直线的斜率为定值．