Question

对于定义在区间D上的函数，若存在闭区间和常数，使得对任意，都有，且对任意∈D，当时，恒成立，则称函数为区间D上的“平底型”函数.

（Ⅰ）判断函数和是否为R上的“平底型”函数？ 并说明理由；

（Ⅱ）设是（Ⅰ）中的“平底型”函数，k为非零常数，若不等式对一切R恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅲ）若函数是区间上的“平底型”函数，求和的值.

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Answer

（1）不是“平底型”函数（2）实数的范围是⑶m＝1，n＝1

【解析】

【解】（1）对于函数，当时，.

当或时，恒成立，故是“平底型”函数

……………………………………………………………2分

对于函数，当时，；

当时，.

所以不存在闭区间，使当时，恒成立.

故不是“平底型”函数. ……………………………………4分

（Ⅱ）若对一切R恒成立，则.

因为，所以.又，则. ……6分

因为，则，解得.

故实数的范围是. …………………………………………………8分

（Ⅲ）因为函数是区间上的“平底型”函数，则

存在区间和常数，使得恒成立.

所以恒成立，即.解得或. ……10分

当时，.

当时，，当时，恒成立.

此时，是区间上的“平底型”函数. ………………12分

当时，.

当时，，当时，.

此时，不是区间上的“平底型”函数. ………………13分

综上分析，m＝1，n＝1为所求. ………………………………………14分