Question

已知直线与椭圆相交于，两点，且（为坐标原点），若椭圆的离心率，则的最大值为___________．

Answer

【解析】

将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理，向量数量积的坐标运算，求得，由离心率的取值范围，即可求得的最大值.

【解析】
设，
由，消去y，可得，
∴则，
由，整理得.
.
（其中为坐标原点），可得，
，即，化简得.
.整理得.
，
∴代入上式，化简得，
.
，平方得，
，可得 ，
因此，可得的最大值为，
满足条件，
∴当椭圆的离心率时，的最大值为.
故答案为：.