Question

在已知数列中，，.

（1）若数列中，，求证：数列是等比数列；

（2）设数列、的前项和分别为、，是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）见解析；（2）存在，.

【解析】

（1）利用等比数列的定义结合数列的递推公式证明出为非零常数，即可证明出数列为等比数列，并可求出数列的通项公式；

（2）求出数列的通项公式，利用分组求和法与等比数列的求和公式分别求出数列、，设，列出关于、、的方程组，解出即可.

（1）在数列中，，，则，

，

且，数列是以为首项，为公比的等比数列，

；

（2），

整理得，，

，

，

所以，，

若数列为等差数列，可设，则，

即，则，解得，

因此，存在实数，使得数列为等差数列.