Question

如图，已知四棱锥，底面为菱形， 平面，，E，F分别是，的中点.

（1）求证：；

（2）若直线与平面所成角的余弦值为，求二面角的余弦值.

Answer

(1)证明见解析 (2)

【解析】

（1）在底面菱形中可得，.由平面，得.从而有线面垂直，因此线线垂直；

（2）由于图中有，，两两垂直，因此以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，，写出各点坐标，求出平面的法向量，用空间向量法表示线面角求出a，再求解二面角．

（1）证明：由四边形为菱形，，可得为正三角形.

因为E为的中点，所以.又，因此.

因为平面，平面，所以.

而平面，平面，且，

所以平面，又平面.所以.

（2）由（1）知，，两两垂直，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设，，则，，

所以，且为平面的法向量，设直线与平面所成的角为，由，则有

解得

所以，

设平面的一法向量为，则，

因此取，

则

因为，所以平面，故为平面的一法向量

又

所以.

因为二面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为