Question

已知函数满足，对于任意都有，且，另

（1）求函数的表达式；

（2）当时，求函数的单调区间；

（3）当时，判断函数在区间上的零点个数，并给予证明.

Answer

（1）；

（2）当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为

；

（3）当时，函数在区间上只有一个零点,证明见解析.

【解析】

（1）先由，得，由，得出对称轴方程为，于是得出，再由得出不等式对任意恒成立，于是得出，从而解出、的值，进而得出函数的解析式；

（2）先将函数表示成分段函数的形式，考查对称轴与相应定义域的位置关系，结合二次函数的性质得出函数的单调区间；

（3）利用（2）中函数的单调性，结合单调性与零点存在定理得出函数的零点个数.

（1），，

对于任意都有,

函数的对称轴为，即，得.

又，即对于任意都成立，

且，又，，．

；

（2）.

① 当时，函数的对称轴为，

若，则，函数在上单调递增；

② 当时，函数的对称轴为，

则函数在上单调递增，在上单调递减．

综上所述，当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为

；

（3）当时，由（2）知函数在区间上单调递增，

又，，故函数在区间上只有一个零点．