Question

已知定义在的奇函数满足：①；②对任意均有；③对任意，均有.

（1）求的值；

（2）利用定义法证明在上单调递减；

（3）若对任意，恒有，求实数的取值范围.

Answer

（1）0（2）见解析（3）

【解析】

（1）用赋值法令，即可求解；

（2）根据函数的单调性定义，设，比较大小，做差，利用条件等式转化为一个函数值，或对按已知等式赋值将函数值的差转化为一个函数值，判断该函数值的正负，即可得出结论；

（3）根据已知条件求出或，利用函数的单调性，不等式转化为对任意,不等式或者恒成立，令，，则，，则不等式等价于……①或……②对任意恒成立，，，转化二次函数最值的不等量关系，即可求解.

【解析】
（1）在中，

令；

（2）由题知：对任意都有，

且对任意均有

证一：任取，则

，

因为，所以，

所以，

即即，也即在单调递减；

证二：任取，设，，，，

则，

因为，所以，即，

也即在单调递减；

（3）在中

令，

令，，

而为奇函数，故，

又在及上均单调递减，

因此原不等式等价于对任意，

不等式或者恒成立，

令，，则，

，则不等式等价于

……①或……②

对任意恒成立，

法一：令，立，开口向上，

则不等式①；

对于②，当时，由，

即必不存在满足②.

综上，.

法二：

令，，

开口向上，对称轴为，

且，，，

1°当即时，问题等价于

或，解得；

2°当即时，

问题等价于或，

解得；

3°当即时，

问题等价于或，

解得；

4°当即时，

问题等价于或，解得；

综上，