Question

设命题对任意实数，不等式恒成立；命题方程表示焦点在轴上的双曲线．

（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；

（2）若命题：“”为真命题，且“”为假命题，求实数的取值范围．

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题（1）由于双曲线焦点在轴上，所以，解得；（2）不等式恒成立，等价于判别式为非正数，解得.若或真、且假，则这两个命题一真一假.分别求出假真和真假时的取值范围，取并集得到的取值范围.

试题解析：

（1）因为方程表示焦点在轴上的双曲线.

∴，得；∴当时，为真命题，………………………3分

（2）∵不等式恒成立，∴，∴，

∴当时，为真命题．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

∵为假命题，为真命题，∴一真一假；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

①当真假，②当假真无解

综上，的取值范围是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分