Question

已知函数

（1）讨论的单调性；

（2）若方程有两个不相等的实数根，求证：

Answer

（1）时，在上是增函数，时，在和上是增函数,在上是减函数

（2）证明见解析

【解析】

（1）对求导，得到，根据的，对进行分类，分为，和；（2）令，先说明当时，不符合题意，再研究当时，利用导数得到最大值，根据有两个零点，得到，易得，再利用导数证明时，，从而确定范围为，再构造函数，利用导数得到在上单调递减，从而得以证明.

（1）易知的定义域为，且，

时，在上恒正，所以在上单调递增，

时，对于，

①当，即时，，在上是增函数；

②当，即时，有两个正根，

所以，，单调递增，

，，单调递减

综上，时，在上是增函数，时，在和上是增函数,在上是减函数

（2）令，

方程有两个不相等的实根函数有两个零点，

由

定义域为且

①当时，恒成立，在上单调递增，则至多有一个零点，不符合题意；

②当时，得，

在上单调递增，在上单调递减

要使有两个零点，则，由解得

此时

易知当时，

，

令，所以，

时，在为增函数，

在为增函数，，

所以，即

所以

函数在与各存在一个零点

综上所述，.

∴证明证明时，成立

设，则

易知在上递减，，在上单调递减

，

所以.