Question

已知函数，.

（1）当时，求函数的单调区间及极值；

（2）讨论函数的零点个数.

Answer

（1）增区间为，减区间为，极大值为，无极小值，（2）当时，函数没有零点；当或时.函数有1个零点；当时，函数有2个零点.

【解析】

（1）求导，求出的解，即可求出单调区间，进而求出极值；

（2）求导，求出单调区间，确定极值，根据极值的正负以及零点存在性定理，对分类讨论，即可求解.

由题得，函数的定义域为.

（1）当时，，

所以，

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减，

所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.

所以当时，有极大值，

且极大值为，无极小值.

（2）由，得.

当时，恒成立，函数单调递增，

当时，，

又，所以函数有且只有一个零点；

当时，令，

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减，

所以的极大值为

，

①当，即得时，

解得，此时函数没有零点；

②当，即时，函数有1个零点；

③当，即时，

.

当时，令，

则在上恒成立，

所以，即，

所以，

故当且时，.

当时，有，

所以函数有2个零点.

综上所述：当时，函数没有零点；

当或时.函数有1个零点；

当时，函数有2个零点.