Question

如图所示，正四面体中,是棱的中点,是棱上一动点，的最小值为，则该正四面体的外接球表面积是（    ）

A. B. C. D.

Answer

A

【解析】

将侧面和沿边展开成平面图形为菱形,可得到的长即为的最小值,设,在中,利用勾股定理可得,则棱长为,进而可求得正四面体的外接球的表面积

将侧面和沿边展开成平面图形,如图所示,菱形,

在菱形中,连接,交于点,则的长即为的最小值,即,

因为正四面体,所以,所以,

因为是棱的中点,所以，

所以,

设,则,

所以,则,所以,

则正四面体的棱长为,

所以正四面体的外接球半径为,

所以该正四面体外接球的表面积为,

故选：A