Question

已知椭圆方程为．

（1）设椭圆的左右焦点分别为、，点在椭圆上运动，求的值；

（2）设直线和圆相切，和椭圆交于、两点，为原点，线段、分别和圆交于、两点，设、的面积分别为、，求的取值范围．

Answer

（1）；（2）.

【解析】

（1）设点，由该点在椭圆上得出，然后利用距离公式和向量数量积的坐标运算求出的值；

（2）分直线的斜率不存在与存在两种情况讨论，在直线的斜率不存在时，可求得，在直线的斜率存在时，设直线的方程为，设点、，根据直线与圆相切，得出，并将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，将表示为的函数，转化为函数的值域的求解，综合可得出答案.

（1）由已知，，设，

由，

同理，可得，

．

结合，得，故；

（2）当直线l的斜率不存在时，其方程为，

由对称性，不妨设，此时，故．

若直线的斜率存在，设其方程为，

由已知可得，则，

设、，将直线与椭圆方程联立，

得，

由韦达定理得，．

结合及，

可知．

将根与系数的关系代入整理得：

，

结合，得．

设，，

则．

的取值范围是．