Question

在平面直角坐标系中，曲线（为参数），将曲线上所有点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到曲线，过点且倾斜角为的直线与曲线交于、两点．

（1）求曲线的参数方程和的取值范围；

（2）求中点的轨迹的参数方程．

Answer

（1）参数方程为（为参数），的取值范围是；

（2）（为参数，）．

【解析】

（1）根据伸缩变换可得出曲线的参数方程，然后分与两种情况讨论，结合直线与曲线相交得出的取值范围；

（2）写出直线的参数方程为（为参数，），并设、、对应的参数分别为、、，可得出，将直线的参数方程与曲线的普通方程联立，得出关于的二次方程，由韦达定理可得出关于的表达式，代入直线的参数方程可得出点的轨迹的参数方程.

（1）曲线的参数方程为（为参数）

当时，与交于两点；

当时，记，则的方程为，与交于两点当且仅当，解得或，即或．

综上，的取值范围是；

（2）的参数方程为（为参数，）．

设、、对应的参数分别为、、，曲线的普通方程为，

将直线的参数方程与曲线的普通方程联立得，

则，且、满足．

于是，，

又点的坐标满足，

所以点的轨迹的参数方程是（为参数，）．