Question

已知椭圆的离心率为，若椭圆上的点与两个焦点构成的三角形中，面积最大为1.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设直线与椭圆的交于两点，为坐标原点，且，证明：直线与圆相切.

Answer

（1）（2）证明见解析

【解析】

（1）由椭圆上点为短轴端点时所给三角形面积最大可得，结合离心率和椭圆的关系，构造方程组求得，进而得到椭圆方程；

（2）①当的斜率存在时，设方程与椭圆方程联立，得到韦达定理的形式；利用垂直关系可得向量数量积等于零，代入韦达定理的结论整理可得；利用点到直线距离公式求得圆心到直线距离，代入可求得；②当的斜率不存在时，可求得方程，易知其与圆相切；综合两种情况可得结论.

（1）椭圆上的点与两个焦点构成的三角形中，面积最大时椭圆上的点为短轴端点

，又，

椭圆的标准方程为

（2）设，

①当的斜率存在时，设

由得：

则，

又

，即满足

到直线的距离

又圆的半径

直线与圆相切

②当的斜率不存在时，所在的两条直线分别为

与椭圆方程联立可求得交点横坐标为或

可得到所在的直线为：或

直线与圆相切

综上所述：当时，直线与圆相切