Question

已知函数（其中为自然对数的底数，）.

（1）若是函数的极值点，求的值，并求的单调区间；

（2）若时都有，求实数的取值范围.

Answer

（1）；的单调递减区间为，单调递增区间为；

（2）

【解析】

（1）由极值点可知，从而求得；根据导函数的正负即可确定的单调区间；

（2）求导后得到导函数；当和时，可根据导函数正负确定单调递增，从而，满足题意；当时，由零点存在定理可知存在，使得时，，由单调性可知不恒成立；从而得到所求范围.

（1）由得：定义域为，

是的极值点 ，解得：

此时，

当时，，单调递减；当时，，单调递增

的单调递减区间为，单调递增区间为

（2），

①当时，恒成立 单调递增 ，满足题意

②当时，是上的增函数，且

若，即，则且不恒等于

单调递增 ，满足题意

若，即，，

存在，使得

当时，，则单调递减

即不恒成立，不合题意

综上所述：实数的取值范围为