Question

对于复数（为虚数单位），定义，给出下列命题：①对任何复数z，都有，等号成立的充要条件是；②：③若，则：④对任何复数，不等式恒成立，其中真命题的个数是（    ）

A.1 B.2 C.3 D.4

Answer

C

【解析】

在①中，当z＝0时，‖z‖＝0；反之，当‖z‖＝0时，z＝0；在②中，z＝a+bi，a﹣bi，从而‖z‖＝‖‖＝|a|+|b|；在③中，当z1＝2+3i，z2＝3+2i时，不成立；④由绝对值的性质得到‖z1﹣z3‖≤‖z1﹣z2‖+‖z2﹣z3‖恒成立．

由复数z＝a+bi（a、b∈R，i为虚数单位），定义‖z‖＝|a|+|b|，知：

在①中，对任何复数，都有‖z‖≥0，

当z＝0时，‖z‖＝0；反之，当‖z‖＝0时，z＝0，

∴等号成立的充要条件是z＝0，故①成立；

在②中，∵z＝a+bi，a﹣bi，∴‖z‖＝‖‖＝|a|+|b|，故②成立；

在③中，当z1＝2+3i，z2＝3+2i时，‖z1‖＝‖z2‖，但z1≠±z2，故③错误；

④对任何复数z1，z2，z3，

设z1＝a1+b1i，z2＝a2+b2i，z3＝a3+b3i，

则‖z1﹣z3‖＝|a1﹣a3|+|b1﹣b3|，

‖z1﹣z2‖+‖z2﹣z3‖＝|a1﹣a2|+|a2﹣a3|+|b1﹣b2|+|b2﹣b3|，

|a1﹣a3|≤|a1﹣a2|+|a2﹣a3|，

|b1﹣b3|≤|b1﹣b2|+|b2﹣b3|，

∴‖z1﹣z3‖≤‖z1﹣z2‖+‖z2﹣z3‖恒成立．故④成立．

故选：C．