Question

如图，在直四棱柱中，，：

（1）求证：平面；

（2）现将与四棱柱形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为，写出的解析式；（直接写出答案，不必说明理由）

Answer

（1）详见解析：（2）4种不同的拼接方案，f（k）

【解析】

（1）取DC的中点E，连接BE，可证明四边形ABED是平行四边形，再利用勾股定理的逆定理可得BE⊥CD，即CD⊥AD，又侧棱AA1⊥底面ABCD，可得AA1⊥DC，利用线面垂直的判定定理即可证明．

（2）由题意可与左右平面ADD1A1，BCC1B1，上或下面ABCD，A1B1C1D1拼接得到方案，新四棱柱共有此4种不同方案．通过比较即可得出f（k）．

（1）证明：取DC的中点E，连接BE，∵AB∥ED，AB＝ED＝3k，

∴四边形ABED是平行四边形，

∴BE∥AD，且BE＝AD＝4k，∴BE2+EC2＝（4k）2+（3k）2＝（5k）2＝BC2，∴∠BEC＝90°，∴BE⊥CD，

又∵BE∥AD，∴CD⊥AD．

∵侧棱AA1⊥底面ABCD，∴AA1⊥CD，

∵AA1∩AD＝A，∴CD⊥平面ADD1A1．

（2）由题意可与左右平面ADD1A1，BCC1B1，上或下面ABCD，A1B1C1D1拼接得到方案新四棱柱共有此4种不同方案．

通过比较即可得出f（k）．