Question

在四面体A-BCD中，有两条棱的长为，其余棱的长度都为1；

（1）若，且，求二面角A-BC-D的余弦值；

（2）求a的取值范围，使得这样的四面体是存在的；

Answer

（1）；（2）0＜a；

【解析】

（1）由题意画出图形，作出二面角的平面角，利用余弦定理得答案；

（2）分两条长为a的棱相交与两条长为a的棱互为对棱分析，结合运动思想与极限思想求得每一种情况的a的范围，最后取并集得答案．

（1）如图，

过A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，则∠AED为二面角A﹣BC﹣D的平面角，

在等边三角形BCD中，∵BC＝CD＝BD＝1，∴DE，

在等腰三角形ABC中，∵AB＝AC，BC＝1，∴AE．

在△AED中，由余弦定理得cos∠AED；

（2）当两条长为a的棱相交时，不妨设AB＝AC＝a，AD＝BD＝CD＝BC＝1，

∵面ABC与平面BCD重合且A，D在BC异侧时，AE，此时AB＝AC，

面ABC与平面BCD重合且A，D在BC同侧时，AE＝1，此时AB＝AC．

∴；

当两条长为a的棱互为对棱时，不妨设BC＝AD＝a，AB＝AC＝BD＝CD＝1，BC，AD可以无限趋近于0，

当ABCD为平面四边形时a，

∴0．

综上，若四面体存在，则0＜a．