Question

已知动圆过定点P(4,0),且在y轴上截得的弦MN的长为8.

(1)求动圆圆心C的轨迹方程;

(2)过点(2,0)的直线l与动圆圆心C的轨迹交于A,B两点,求证:是一个定值.

Answer

（1）；（2）见解析

【解析】

（1）设圆心的坐标为，得出，代入点的坐标，即可得到曲线C的轨迹方程；

（2）设直线方程，联立方程组，得到，再向量的数量积的运算，即可得到结论.

(1)设动圆的圆心C(x,y),线段MN的中点为T,则|MT|==4.

由题意得|CP|2=|CM|2=|MT|2+|TC|2,∴y2+(x-4)2=42+x2,∴y2=8x,

即动圆圆心C的轨迹方程为y2=8x.

(2)证明:易知直线l的斜率不为0,

设直线l的方程为x=ky+2,A(x1,y1),B(x2,y2).

联立消去x整理得y2-8ky-16=0,Δ=64k2+64>0,可得y1+y2=8k,y1y2=-16.

又=(x1,y1),=(x2,y2),

∴·=x1x2+y1y2=(ky1+2)(ky2+2)+y1y2=k2y1y2+2k(y1+y2)+4+y1y2=-16k2+16k2+4-16=-12,

∴·是一个定值.