Question

已知函数．

（1）解不等式；

（2）若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围；

（3）若函数，其中为奇函数，为偶函数，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．

Answer

（1）（1，3）（2） （3）

【解析】

（1）利用换元法，将原不等式转化为一元二次不等式来求解.（2）将问题分离常数，转化为在有解的问题来解决.求得在上的值域，来求得的取值范围.（3）先根据函数的奇偶性的概念，求得的解析式，化简所求不等式为，利用换元法及分离参数法分离出，利用恒成立问题解决方法求得的取值范围.

（1）原不等式即为，设t=2x，则不等式化为t﹣t2＞16﹣9t，

即t2﹣10t+16＜0，解得，即，∴1＜x＜3，∴原不等式的解集为．

（2）函数在上有零点，∴在上有解，即在有解．

设，∵，∴，

∴．∵在有解，∴，故实数的取值范围为．

（3）由题意得，解得．

由题意得，

即

对任意恒成立，令，，则．

则得对任意的恒成立，

∴对任意的恒成立，

∵在上单调递减，∴．

∴，∴实数的取值范围．