Question

某高速公路隧道设计为单向三车道，每条车道宽4米，要求通行车辆限高5米，隧道全长1.5千米，隧道的断面轮廓线近似地看成半个椭圆形状（如图所示）.

（1）若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽至少是多少米？（结果取整数）

（2）如何设计拱高和拱宽，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？（结果取整数）

参考数据：，椭圆的面积公式为，其中，分别为椭圆的长半轴和短半轴长.

Answer

（1）此隧道设计的拱宽至少是22米（2）当拱高为7米、拱宽为18米时，土方工程量最小

【解析】

（1）建立直角坐标系，设椭圆方程为，根据对称性，将点代入椭圆方程，即可求解；

（2）由点在椭圆上或在椭圆内，得，利用基本不等式，即可求出椭圆的面积的最小值，根据体积公式，即可求解.

（1）建立直角坐标系如图所示，

则点在椭圆上，

将与点代入椭圆方程，得，

此时，

因此隧道设计的拱宽至少是22米.

（2）由椭圆方程，得，

因为，即，，

由于隧道长度为1.5千米，故隧道的土方工程量，

当取得最小值时，有且，得，，

此时，.

①若，此时，此时，

②若，此时，此时，

因为，故当拱高为7米、拱宽为18米时，土方工程量最小.