Question

某服装加工厂为了提高市场竞争力，对其中一台生产设备提出了甲、乙两个改进方案：甲方案是引进一台新的生产设备，需一次性投资1000万元，年生产能力为30万件；乙方案是将原来的设备进行升级改造，需一次性投入700万元，年生产能力为20万件.根据市场调查与预测，该产品的年销售量的频率分布直方图如图所示，无论是引进新生产设备还是改造原有的生产设备，设备的使用年限均为6年，该产品的销售利润为15元/件（不含一次性设备改进投资费用）.

（1）根据年销售量的频率分布直方图，估算年销量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）将年销售量落入各组的频率视为概率，各组的年销售量用该组区间的中点值作年销量的估计值，并假设每年的销售量相互独立.

①根据频率分布直方图估计年销售利润不低于270万元的概率：

②若以该生产设备6年的净利润的期望值作为决策的依据，试判断该服装厂应选择哪个方案.（6年的净利润=6年销售利润-设备改进投资费用）

Answer

（1）19.8万件（2）①0.6 ②乙方案.

【解析】

（1）利用小矩形的中点乘以小矩形的面积之和，从而求得平均数；

（2）①由题意得只有当年销售量不低于18万件时年销售利润才不低于270万，再从频率分布直方图中，估计年销售利润不低于270万的概率；

②分别计算两种方案6年的净利润的期望值，再比较大小，从而得到结论。

（1）年销量的平均数（万件）.

（2）①该产品的销售利润为15元/件，

由题意得只有当年销售量不低于18万件时年销售利润才不低于270万，

所以年销售利润不低于270万的概率.

②设甲方案的年销售量为X万件，由（1）可知甲方案的年销售量的期望，

所以甲方案6年的净利润的期望值为（万元）.

设乙方案的年销售量为Y万件，则乙方案的年销售量的分布列为

Y

12

16

20

P

0.05

0.35

0.6

所以乙方案的年销售量期望（万件），

所以乙方案6年的净利润的期望值为（万元），

因为乙方案的净利润的期望值大于甲方案的净利润的期望值,

所以企业应该选择乙方案.